WSTĘP
Dlaczego warto znać postać ogólną funkcji kwadratowej?
Funkcja kwadratowa to jedna z najważniejszych funkcji, z jakimi spotkasz się w szkole średniej. Umiejętność wyznaczania jej wzoru w różnych postaciach (ogólnej, kanonicznej i iloczynowej) jest niezbędna nie tylko na sprawdzianach czy egzaminie maturalnym, ale także stanowi fundament do dalszej nauki matematyki.
Często zadania polegają na tym, by mając pewne informacje o funkcji (np. o jej wierzchołku, miejscach zerowych czy punktach, przez które przechodzi wykres), wyznaczyć wzór tej funkcji.
Jak wykorzystać dane w zadaniu?
W typowych zadaniach w szkole średniej możesz spotkać się z następującymi informacjami o funkcji kwadratowej:
- Dwa lub trzy punkty, przez które przechodzi wykres funkcji
- Znając współrzędne punktów, do których musi należeć parabola, wstawiasz je do wzoru i otrzymujesz układ równań do rozwiązania.
- Miejsca zerowe paraboli – czyli wartości i dla których .
- Jeśli funkcja ma miejsca zerowe i , to możesz od razu zapisać jej postać iloczynową Następnie, korzystając z dodatkowej informacji (np. z punktu, przez który parabola przechodzi) znajdujesz współczynnik . Aby uzyskać postać ogólną, wystarczy tę postać rozwinąć (wymnożyć nawiasy i uporządkować).
- Wierzchołek paraboli (punkt ) i dodatkowy punkt/parę punktów.
- Wtedy używasz postaci kanonicznej , wstawiasz informacje o dodatkowym punkcie, który leży na wykresie, by wyliczyć . Na koniec rozwijasz wyrażenie, by uzyskać postać ogólną.
Uniwersalne wskazówki do wyznaczania wzoru:
Wybierz odpowiednią postać początkową
- Jeśli znasz wierzchołek i dodatkowy punkt, startuj z postaci kanonicznej .
- Jeśli masz miejsca zerowe, użyj postaci iloczynowej .
- Jeśli masz konkretne punkty (ale bez wiedzy o wierzchołku i miejscach zerowych), startuj bezpośrednio z postaci ogólnej .
- Wstaw informacje z treści zadania
- W każdej z powyższych postaci umieść dane o punktach (np. współrzędne punktu), miejscach zerowych, czy wierzchołku.
- Dzięki temu otrzymasz układ równań pozwalający na wyznaczenie wartości , i .
- Rozwiąż układ równań
- To może być np. jedno, dwa lub trzy równania, w zależności od tego, ile informacji zawiera zadanie.
- Staraj się robić to systematycznie: zapisz równania, numeruj je i rozwiązuj kolejno.
- Zapisz ostateczny wzór
- Jeśli zaczynałeś od innej postaci niż ogólna, na koniec rozwiń wyrażenia i uporządkuj wyrazy tak, by otrzymać .
- Sprawdź, czy wartości , i spełniają wszystkie warunki podane w zadaniu (zrób tzw. weryfikację).
- Interpretuj rezultat
- Upewnij się, czy znak współczynnika (dodatni lub ujemny) odpowiada faktycznemu położeniu paraboli (ramiona w górę bądź w dół).
- Przypomnij sobie, że to współrzędna wierzchołka, a wskazuje liczbę miejsc zerowych
PRZYKŁADY ... w Poradniku...
